独立同分布样本经验测度在 $W^{-{\alpha}, p}$ 空间中的收敛性

给定来自 $\mathbf{R}^d$ 上概率测度 $\mu$ 的 $N$ 个独立同分布样本，我们研究了经验测度 $\mu_N \to \mu$ 在负索伯列夫空间 $W^{-\alpha, p}$ 中的收敛速率。当 $W^{-\alpha, p}$ 包含点测度时（即当 $\alpha p > (p-1)d$），我们证明 $\mathbf{E} \| \mu_N - \mu \|_{W^{-\alpha, p}}^p \leq C_d / N^{p/2}$，其中 $C_d$ 为显式的维数常数，并得到了一个高斯尾部界。当 $0 < \alpha p \leq d(p-1)$ 时，我们证明了高斯正则化下的类似结果。