齐性空间上对角作用下的测度收敛

设 $\lambda$ 是 $\mathbb T^{n-1}$ 上的概率测度，其中 $n=2$ 或 3。假设 $\lambda$ 关于由双曲矩阵定义的线性变换是不变、遍历且具有正熵的。我们通过将 $\lambda$ 置于 $a_t=\mathrm{diag}(e^t,..., e^t, e^{-(n-1)t})$ $(t>0)$ 右平移的某个不稳定 horospherical 轨道上，得到 $SL_n(\mathbb Z)\backslash SL_n(\mathbb R)$ 上的一个测度 $\mu$。我们证明，如果 $\mu$ 关于流 $a_t$ 的平均值存在极限，那么它必定是概率 Haar 测度的标量倍数。作为一个应用，我们证明如果 $\lambda$ 的熵很大，那么狄利克雷定理在 $\lambda$ 几乎必然意义下是不可改进的。