有限体积测度的平移不变扩张

我们研究以下问题：给定格点$\mathbb{L}$的子集$\Lambda$上构型的一个测度$\mu_\Lambda$，其中构型是某个固定集合$\Omega$的$\Omega^\Lambda$中的元素，是否存在$\mathbb{L}$上全体构型的一个测度$\mu$，在$\mathbb{L}$的某个指定对称群下不变，使得$\mu_\Lambda$是其在$\Lambda$上构型的边缘分布？当答案为是时，此类测度的性质（例如熵）是什么？我们的主要焦点是$\mathbb{L}=\mathbb{Z}^d$且对称群为平移的情况。对于$\Lambda$为$\mathbb{Z}$中区间的情况，我们给出可扩张性的一个简单充要条件：局部平移不变性（LTI）。对于LTI测度，我们构造了具有最大熵的扩张，并证明它们是吉布斯测度；该构造可推广到$\mathbb{L}$为Bethe晶格的情形。在$\mathbb{Z}$上，我们还考虑了支撑于周期构型的扩张，利用de Bruijn图进行分析，这些扩张包含具有最小熵的扩张。当$\Lambda\subset\mathbb{Z}$不是区间，或当$\Lambda\subset\mathbb{Z}^d$且$d>1$时，LTI条件是可扩张性的必要但不充分条件。对于$d>1$的$\mathbb{Z}^d$，可扩张性在某种意义上是不可判定的。