正交指数函数、平移与Bohr完备化

我们关注希尔伯特空间$L^2(\mu)$中的调和分析，其中$\mu$是$\br^n$上的一个概率测度。核心问题是$L^2(\mu)$中正交（复）指数函数族$e_\lambda(x) = \exp(2\pi i \lambda x)$的存在性。这个问题反过来又与$L^2(\mu)$到$\br^n$上Bohr概周期函数$L^2$空间的一个自然嵌入相关。我们特别探讨了当$\lambda$属于$\br^n$中一个合适的离散子集时，$L^2(\mu)$何时包含一个由$e_\lambda$函数构成的正交基；即测度$\mu$何时是谱测度。我们基于局部平移群的存在性，给出了有限谱集的一个新刻画。我们还考虑了由迭代函数系统(IFS)（在Hutchinson意义下）的不动点产生的测度$\mu$，并专门研究了IFS中的函数系统由$\br^n$上的仿射压缩映射构成的情况。我们证明，在这种情况下，如果$\mu$是谱测度，那么由该IFS诱导的$\mu$的划分在$\mu$测度下具有零重叠。这解决了Laba-Wang猜想的一部分。作为这个新的非重叠结果的一个应用，我们解决了伯努利卷积的谱对问题，从而推进了Ka-Sing Lau的一个定理。此外，我们通过Bohr紧化，为谱测度和正交傅里叶指数函数提供了一个新视角。