具有连续数字的 Cantor 测度的谱性质

我们考虑由形如 ${b^{-1}(x+i)}$，$i=0,1,...,q-1$（其中 $q<b$）的迭代函数系统生成的等权 Cantor 测度 $\mu_{q,b}$。我们对 $(q,b)$ 进行分类，使得它们在 $L^2(\mu_{q,b})$ 中具有无穷多个相互正交的指数函数。特别地，若 $q$ 整除 $b$，则该测度具有完备的正交指数系，从而是谱测度。然后，当 $q$ 整除 $b$ 时，我们通过 $q$ 进树上的极大映射刻画了所有的极大正交集 $\Lambda$，其中 $\Lambda$ 中的所有元素均以有限的 $b$ 进展开唯一表示，并且我们可以将极大正交集分为两类：正则集和非正则集。对于正则极大正交集，我们证明了其在 $L^2(\mu_{q,b})$ 中的完备性关键取决于该元素的 $b$ 进展开尾部中非零数字的特定增长率。此外，我们展示了具有零 Beurling 维数的完备正交指数函数。这些例子表明 \cite{[DHSW]} 定理 3.5 中的技术条件是不可去除的。对于非正则极大正交集，我们证明了在某些条件下，其完备性等价于相应正则化映射的完备性。