测度谱的铺砌性质

我们研究了测度谱的铺砌性质，即 $\br$ 中的集合 $\Lambda$，使得 $\{e^{2\pi i \lambda x}: \lambda\in\Lambda\}$ 在 $L^2(\mu)$ 中构成正交基，其中 $\mu$ 是 $\br$ 上的某个有限 Borel 测度。此类测度包括有界 Borel 子集上的 Lebesgue 测度、有限原子测度以及一些分形 Hausdorff 测度。我们证明了各类此类测度谱具有平移铺砌性质。这导致了一些关于分形测度谱的惊人铺砌性质、具有 Coven-Meyerowitz 性质的有限集的补集和谱的存在性，以及大小为 2,3,4 或 5 的 Hadamard 对情形下互补 Hadamard 对的存在性。在 Fuglede 猜想的背景下，我们证明了如果谱的周期为 2,3,4 或 5，则任何谱集都是一个铺砌块。