自相似铺砌的谱性质

若集合 $K \subset {\mathbb R}^s$ 具有正 Lebesgue 测度且 $L^2(K)$ 容许一个指数正交基，则称 $K$ 为{\it 谱集}。曾有猜想认为 $K$ 是谱集当且仅当 $K$ 是铺砌（Fuglede 猜想）。尽管该猜想在 ${\mathbb R}^s$ ($s\geq 3$) 上已被证明不成立 ([T], [KM2])，但在附加假设下它仍提出了具有挑战性的问题。本文的附加假设是自相似性。我们研究了 ${\mathbb R}$ 中具有相关数字集乘积结构的一类自相似铺砌 $K$ 的谱性质。我们证明了任何严格乘积形式铺砌及其相关的模乘积形式铺砌均为谱集。至于逆问题，我们对由含四个元素的任意数字集生成的自相似集 $K$ 进行了初步研究。基于正交性，我们考察了其 Fourier 变换的零点，并验证了 Fuglede 猜想在这一特殊情况下的成立性。