关于循环群的谱与平铺子集的结构

本文旨在研究循环群的谱子集与平铺子集的性质，着眼于维谱集猜想，该猜想指出 $\mathbb{R}$ 的有界可测子集允许指数正交基当且仅当其通过平移平铺 $\mathbb{R}$。该猜想与其离散对应物密切相关，即在每个有限循环群中，一个子集是谱子集当且仅当它是一个平铺。本文提出的工具是对循环群环境中近期所用工具的改进；单位根的消失和结构是贯穿全文的普遍概念，整数的平铺子集结构亦是如此。我们成功证明了该猜想对于阶为 $p^mq^n$ 的循环群（其中一个指数 $\le 6$ 或 $p^{m-2}<q^4$）成立，并证明了阶为 $p_1^mp_2\dotsm p_n$ 的循环群的平铺子集是谱子集。