凸域上的 Fuglede 猜想在所有维度均成立

若空间 $L^2(\Omega)$ 具有由指数函数构成的正交基，则称集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 为谱集。Fuglede（1974）提出的一个猜想断言：$\Omega$ 是谱集当且仅当它可通过平移铺满空间。尽管该猜想对一般集合已被证伪，但长期以来已知对于凸体 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$，猜想中“铺砌蕴含谱”的部分事实成立。相反，凸体猜想的“谱蕴含铺砌”方向仅在 $\mathbb{R}^2$ 中被证明，并在 $\Omega$ 为凸多面体的先验假设下于 $\mathbb{R}^3$ 中被证明。在更高维度，该猜想方向完全开放（即使 $\Omega$ 为多面体时亦然），且无法用先前发展的技术处理。在本文中，我们在所有维度完全肯定地解决了凸体上的 Fuglede 猜想，即我们证明：若凸体 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 是谱集，则 $\Omega$ 是可经平移铺满空间的凸多面体。为此我们引入一种新技术，涉及晶体学衍射理论中的构造，使我们能建立集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 为谱集所必需的几何“弱铺砌”条件。