连通集的平铺、谱性与非周期性

设 $\Omega\subset \mathbb{R}^d$ 为有限测度集。周期平铺猜想认为，若 $\Omega$ 通过平移平铺 $\mathbb{R}^d$，则它至少承认一种周期平铺。Fuglede 猜想认为，$\Omega$ 承认指数函数的正交基当且仅当它通过平移平铺 $\mathbb{R}^d$。已知这两个猜想在足够高维数中均为假，且迄今已知的反例都高度不连通。另一方面，已知它们对凸集成立。本文我们研究连通集上的这些猜想。我们表明，在足够高维数中，周期平铺猜想以及 Fuglede 猜想的两个方向对连通集均为假。