谱集猜想对整数的一些归约

谱集猜想，也称为 Fuglede 猜想，断言每个有界谱集都是平移铺砌集，反之亦然。虽然该猜想在 ${\mathbb R}^1$ 上仍未解决，但文献中有许多结果讨论了 ${\mathbb Z}_n$、${\mathbb Z}$ 和 ${\mathbb R}^1$ 上 Fuglede 猜想各种形式之间的关系，以及相应群上看似更强的通用铺砌（谱）猜想。在本文中，我们澄清了一维情况下这些陈述之间的等价性。此外，我们表明如果 ${\mathbb R}^1$ 上的 Fuglede 猜想成立，那么每个具有有理测度的谱集必须具有有理谱。随后，我们研究了 \cite{CoMe99} 中引入的有限整数集的 Coven-Meyerowitz 性质，并表明如果 ${\mathbb Z}$ 中的谱集和平移铺砌集满足 Coven-Meyerowitz 性质，那么 ${\mathbb R}^1$ 上 Fuglede 猜想的两个方面都成立。