关于 Fuglede 猜想与泛谱的存在性

Tao \cite{tao}、Kolountzakis 与 Matolcsi \cite{nspec} 近期发展的方法已给出 Fuglede 谱集猜想两个方向的反例。即在 $\RR^5$ 中 Tao 给出了一个不是拼块的谱集,而 Kolountzakis 与 Matolcsi 给出了非谱拼块的例子。在寻找低维非谱拼块的过程中,我们转而研究 Lagarias 与 Wang \cite{lagwang} 的泛谱猜想(USC)。特别地,我们在此证明 USC 与 Fuglede 猜想的“拼块 $\to$ 谱”方向在任意维数下等价。此外,我们通过例子表明 Lagarias 与 Szab\'o \cite{lagszab} 关于泛谱存在的充分条件是必要的。这一事实给构造无谱的低维拼块例子造成了相当大的困难。我们借助 R\'ev\'esz 与 Farkas \cite{revfark} 的某些思想克服了这些困难,并在 $\RR^3$ 中得到了非谱拼块。Fuglede 猜想与泛谱猜想在 1 维和 2 维仍开放。1 维情形与 Coven 和 Meyerowitz \cite{covmey} 关于拼块的一个数论猜想密切相关。