交错拓扑代数中的谱与经典定理的新视角

本文考虑实代数和复代数以及一般域上的代数。第2节，我们重新审视并证明了一般域上（二次）代数的几个结果。例如，我们证明了特征不为2的域上的二次代数是柔性的当且仅当它是本征的——本文引入的一个概念。第3节，我们展示了如何在复（或实）单侧交错拓扑代数背景下发展谱理论。作为谱存在性的应用，我们证明了作用于复（或实）Fr\'echet空间上的非标量（或非二次）连续线性算子存在非平凡超不变线性流形。在此过程中，谱理论被用于证明几个著名定理的拓扑对应物，如Frobenius、Hurwitz、Gelfand-Mazur和Zorn定理。例如，这是在左（或右）交错拓扑代数背景下完成的，其对偶空间分离其元素。第4节，我们在各种拓扑设置中考虑实代数和复代数，并重新审视和证明了一些结果。例如，证明了给定$1 < k \in \mathbb{N}$，在任何局部复代数上，存在唯一的非零向量空间范数，记为$\|.\|$，满足恒等式$\|a^k\| = \|a\|^k$。第5节，除其他内容外，我们重新审视并略微加强了著名的Frobenius、Zorn、Gelfand-Mazur和Hurwitz定理，并给出了其拓扑对应物的轻微扩展，例如Albert、Kaplansky和Urbanik-Wright定理等。