超越谱定理：非对角化算子任意函数的谱分解

有限维中的非线性可通过将其投影到无限维而线性化。遗憾的是，随后通常会使用的线性算子技术往往失效，因为这些算子无法对角化。这一诅咒是众所周知的。它同样出现在有限维线性算子中。我们通过发展一种亚纯函数演算来规避它，该演算能根据非对角化线性算子的特征值与投影算符分解其任意函数。它将正规算子的谱定理推广到更广泛的一类算子，包括函数的极点、零点与算子谱重合的情形。通过允许直接处理非正规与非对角化算子的各个特征空间，新理论避免了虚假发散。因此，它在若干涉及非对角化动力学的物理学领域给出了新颖的见解与闭式表达式，包括有记忆随机过程、开放非幺正量子系统以及远离平衡的热力学。技术贡献包括对算子任意幂次的首次完整处理。特别地，我们证明了先前仅公理化定义的 Drazin 逆，可在亚纯函数演算中作为奇异算子的负一次幂导出，并给出了构造它的一般方法。我们提供了构造投影算符的新公式，并描绘了投影算符、特征向量与广义特征向量之间的关系。为说明其应用，我们探讨了几个相当不同的例子。