Hahn 亚纯函数理论、全纯 Fredholm 定理及其应用

我们在复平面的对数覆盖上引入一类在零点附近具有收敛广义幂级数展开的函数。该构造涵盖了可能出现 z 的非整数幂以及包含 log z 的项的情形。我们证明，在自然假设下，复分析中的一些重要定理可推广到这类函数。特别地，可以定义一个推广亚纯函数的函数域，并可在此类中表述一个解析 Fredholm 定理。我们证明，这一修正的解析 Fredholm 定理可在谱理论中用于证明 Bessel 型算子和无穷远处为欧几里得流形的 Laplace-Beltrami 算子的预解式的收敛展开。这些结果在散射理论中至关重要，因为它们是建立散射矩阵解析性和谱中点上广义本征函数存在性的关键步骤。