积形式Hadamard三元组及其谱自相似测度

在{\L}aba和Wang的先前工作中，证明了只要存在Hadamard三元组$(N,{\mathcal D},{\mathcal L})$，则由映射$N^{-1}(x+d)$（$d\in{\mathcal D}$）生成的关联一维自相似测度$\mu_{N,{\mathcal D}}$就是谱测度。本文通过将对每个三元组置于$N$的不同尺度上，为有限多个Hadamard三元组$(N, {\mathcal A}_k, {\mathcal L}_k)$引入积形式数字集。我们的主要结果是证明关联的自相似测度$\mu_{N,{\mathcal D}}$是谱测度。该结果使我们能够证明，只要${\mathbb Z}_N$中的拼砖满足Coven-Meyerowitz $(T1)$、$(T2)$拼贴条件，积形式自相似砖就是谱集。此外，我们证明了所有具有$N = p^{\alpha}q$的自相似砖都是谱集，回答了Fu、He和Lau在2015年提出的一个问题。最后，我们的结果使我们能够提供不由单个Hadamard三元组生成的新的奇异谱测度。此类新例子使我们能够对由四个等压缩映射生成的所有谱自相似测度进行分类，这将发表于一篇后续论文中。