由有限个 Hadamard 三元组生成的随机卷积的谱性

设 $\{(N_j, B_j, L_j): 1 \le j \le m\}$ 为 $\mathbb{R}$ 中的有限个 Hadamard 三元组。给定正整数序列 $\{n_k\}_{k=1}^\infty$ 和 $\omega=(\omega_k)_{k=1}^\infty \in \{1,2,\cdots, m\}^\mathbb{N}$，令 $\mu_{\omega,\{n_k\}}$ 为如下无限卷积 $$\mu_{\omega,\{n_k\}} = \delta_{N_{\omega_1}^{-n_1} B_{\omega_1}} * \delta_{N_{\omega_1}^{-n_1} N_{\omega_2}^{-n_2} B_{\omega_2}} * \cdots * \delta_{N_{\omega_1}^{-n_1} N_{\omega_2}^{-n_2} \cdots N_{\omega_k}^{-n_k} B_{\omega_k} }* \cdots.$$ 为了研究 $\mu_{\omega,\{ n_k\}}$ 的谱性，我们首先证明了在等正性条件下由 Hadamard 三元组生成的一般无限卷积的谱性。然后，利用傅里叶变换的整周期零集，我们证明了如果对于 $1 \le j \le m$ 有 $\mathrm{gcd}(B_j - B_j)=1$，则所有无限卷积 $\mu_{\omega,\{n_k\}}$ 都是谱测度。这意味着我们可以找到一个子集 $\Lambda_{\omega,\{n_k\}}\subseteq \mathbb{R}$，使得 $\big\{ e_\lambda(x) = e^{2\pi i \lambda x}: \lambda \in \Lambda_{\omega,\{n_k\}} \big\}$ 构成 $L^2(\mu_{\omega,\{ n_k\}})$ 的标准正交基。