$\mathbb{R}$ 上一类无限卷积的谱性

给定整数 $m\geq1$。令 $\Sigma^{(m)}=\{1,2, \cdots, m\}^{\mathbb{N}}$ 为符号空间，并令 $\{(b_{k},D_{k})\}_{k=1}^{m}:=\{(b_{k}, \{0,1,\cdots, p_{k}-1\}t_{k}) \}_{k=1}^{m}$ 为有限序列对，其中整数 $| b_{k}|$、$p_{k}\geq2$、$|t_{k}|\geq 1$，且对所有 $1\leq k\leq m$，$p_{k},t_{1},t_{2}, \cdots, t_{m}$ 为两两互素整数。本文证明：对任意无限字 $\sigma=\left(\sigma_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\in\Sigma^{(m)}$，无限卷积 $$\mu_{\sigma}=\delta_{b_{\sigma_{1}}^{-1} D_{\sigma_{1}}} * \delta_{\left(b_{\sigma_{1}} b_{\sigma_{2}}\right)^{-1} D_{\sigma_{2}}} * \delta_{\left(b_{\sigma_{1}} b_{\sigma_{2}} b_{\sigma_{3}}\right)^{-1}D_{\sigma_{3}}} * \cdots$$ 为谱测度当且仅当对所有 $n\geq2$ 有 $p_{\sigma_n}\mid b_{\sigma_n}$ 且 $\sigma\notin \bigcup_{l=1}^\infty\prod_{l}$，其中 $\prod_{l}=\{i_{1}i_{2}\cdots i_{l}j^{\infty}\in\Sigma^{(m)}: i_{l}\neq j, |b_{j}|=p_{j}, |t_{j}|\neq1\}$。