迭代幂次因子和函数与黎曼假设的新等价性

本文研究迭代因子和函数 $\sigma_k(m)$ 的动力学及其模 $m$ 的行为，其动机来自关于完全数与多完全数的经典问题以及同余 $\sigma_k(m) \equiv 0 \pmod m$。完全数与多完全数仍极为罕见；奇完全数仍未知且必为天文数字般巨大。此处重点在于迭代项的动力学与统计结构，而非孤立例子。获得三个主要结果。首先，证明不存在整数 $m>1$ 能对全部 $k \ge 0$ 满足 $\sigma_k(m) \equiv 0 \pmod m$，从而排除“元完全数”的存在，并表明 $\sigma$ 的迭代不能永久陷于模 $m$ 的剩余类 $0$ 中。其次，对于某些显式整数如 $m=6,12,24$，序列 $\sigma_k(m) \bmod m$ 是严格周期的，其小周期整除 $L=\mathrm{lcm}(e_i+1)$，其中 $e_i$ 为 $m$ 的素数指数。分支图与分布分析揭示了随着 $m$ 增大从刚性二循环结构到更复杂剩余动力学的转变。第三，建立与黎曼假设的一个新等价性：RH 成立当且仅当，对于每个含素数五次幂的偶非无平方因子 $m \ge 5041$，$$\frac{\sigma_k(m)}{\sigma_{k-1}(m)\log\log\sigma_{k-1}(m)} \le e^\gamma,$$ 且序列 $\sigma_k(m) \bmod m$ 最终周期，对 $k \ge 0$ 一致。大量计算支持这些周期现象，给出剩余的非正态离散分布模型，并暗示其与一个新提出的薛定谔型“Caceres”算符的关联，该算符的谱在数值上再现了黎曼 zeta 函数非平凡零点的关键统计特征。