除数和的算术性质

除数函数 $\sigma(n)$ 表示正整数 $n$ 的除数之和。对于素数 $p$ 与 $m \in \mathbb{N}$，$m$ 的 $p$-进赋值是整除 $m$ 的 $p$ 的最高幂次。本文建立了 $\nu_{p}(\sigma(n))$ 的公式。当 $p=2$ 时，这些公式仅涉及整除 $n$ 的奇素数。这些表达式被用于建立界 $\nu_{2}(\sigma(n)) \leq \lceil\log_{2}(n) \rceil$，且等号成立当且仅当 $n$ 为互异梅森素数的乘积；对于奇素数 $p$，界为 $\nu_{p}(\sigma(n)) \leq \lceil \log_{p}(n) \rceil$，且等号与 Ljunggren-Nagell 丢番图方程的解相关。