关于 $\sigma_k(n)$ 的 2-进数价值

对于正整数 $k$，设 $\sigma_k(n)=\sum_{d\mid n} d^k$ 为阶为 $k$ 的除数函数，记 $\nu_p(m)$ 为整数 $m$ 的 $p$ 进数价值。我们深入研究 $\nu_2(\sigma_k(n))$。我们证明，对每个 $n\ge 2$，都有 \nu_2(\sigma_k(n)) \le \begin{cases} \lceil \log_2 n \rceil, & \text{if k is odd},\[1mm] \lfloor \log_2 n \rfloor, & \text{if k is even}. \end{cases} 这些界限是最佳的。更精确地说，如果 $k$ 为奇数，则等号成立当且仅当 $n$ 是互素的梅棱质数的乘积；如果 $k$ 为偶数，则等号成立当且仅当 $n=3$。我们还获得了 $\nu_2(\sigma_k(n))$ 关于 $n$ 素因数分解的显式公式。