第一类斯特林数的2-adic赋值

设$n$和$k$为正整数。我们用$v_2(n)$表示$n$的2-adic赋值。第一类斯特林数记为$s(n,k)$，计数具有$k$个不相交循环的$n$个元素的排列数。近年来，Lengyel、Komatsu与Young、Leonetti与Sanna以及Adelberg在$s(n,k)$的$p$-adic赋值方面取得了一些进展。本文通过引入第$m$类第一类斯特林数的概念并进行详细的2-adic分析，给出了$s(2^n, k)$的2-adic赋值的显式公式。我们还证明了对于所有介于1和$2^n$之间的整数$k$，有$v_2(s(2^n+1,k+1))=v_2(s(2^n,k))$。作为一个推论，我们证明了若$k$为奇数且$2\le k\le 2^{n-1}+1$，则$v_2(s(2^n,2^n-k))=2n-2-v_2(k-1)$。这部分证实了Lengyel于2015年提出的一个猜想。此外，我们证明了若$k\le 2^n$，则$v_2(s(2^n,k)) \le v_2(s(2^n,1))$且$v_2(H(2^n,k))\leq -n$，其中$H(n,k)$表示$1,1/2,...,1/n$的第$k$个初等对称函数。后者支持了Leonetti与Sanna于2017年提出的猜想。