关于 Stirling 多项式的一个性质

本文对 D.S. Mitrinovi\'{c} 和 R.S. Mitrinovi\'{c} 于 1960 年提出的一个关于第一类 Stirling 数 $s(n,k)$ 的问题给出了肯定回答（参见：D.S. Mitrinovi\'{c} et R.S. Mitrinovi\'{c}, Tableaux qui fournissent des polyn\^{o}mes de Stirling, Publications de la Facult\'{e} d'Electronique, s\'{e}rie: Math\'{e}matiques et physique, 34, (1960).1-23.）。我们证明了对于所有 $k\geq 2$，存在一个整数 $m_{k}$ 和一个 $\mathbb{Z}[x]$ 中的本原多项式 $P_{k}(x)$，使得对于所有 $n\geq k$，有 $s(n,n-k)=\frac{1}{m_{k}}\binom{n}{k+1}\left(n(n-1)\right) ^{\mathop{\rm mod}\nolimits (k,2)}P_{k}(n)$。此外，对于所有 $k\geq1$，有 $P_{2k}(0)=P_{2k+1}(0)$。