通过泊松近似给出第一类和第二类 Stirling 数的完全有效误差界

我们分别为第一类和第二类 Stirling 数（记为 $s(n,m)$ 和 $S(n,m)$）提供了完全有效的误差估计。这些界对于 $m \geq n - O(\sqrt{n})$ 的值非常有用。例如，应用我们的定理 5 可得：$$s(10^{12},\ 10^{12}-2\times 10^6)/10^{35664464} \in [ 1.87669, 1.876982 ],$$ $$S(10^{12},\ 10^{12}-2\times 10^6)/10^{35664463} \in [ 1.30121, 1.306975 ].$$ 这些界是通过 Chen-Stein 泊松近似获得的，其中利用了将 Stirling 数解释为在棋盘上放置非攻击性车（rooks）的方法数的观点。作为定理 5 的推论（总结于命题 1 中），我们得到了两个简单且显式的渐近公式，分别对应于 $s(n,m)$ 和 $S(n,m)$，其参数化为 $m = n - t\, n^a$，$0 \leq a \leq \frac{1}{2}$。这些渐近公式与 Moser 和 Wyman 最初在 $0<a<\frac{1}{2}$ 范围内观察到的公式一致，并与 Louchard 近期针对 $\frac{1}{2}<a < 1$ 提出的渐近展开相衔接，从而填补了 $a = \frac{1}{2}$ 处的空白。我们还提供了一个适用于车和文件数（rook and file numbers）的推广。