第二类 $p$-进 Stirling 数

记 $S(n,k)$ 为第二类 Stirling 数。我们证明对于所有整数 $a, b, c$ 和 $d$，当 $e$ 趋于无穷大时，$S(p^e a + c, p^e b + d)$ 的 $p$-进极限存在。我们将该极限 $p$-进整数记为 $S(p^\infty a + c, p^\infty b + d)$。当 $a \equiv b \pmod{p-1}$ 或 $d \le 0$ 时，我们利用近期一篇论文中引入的 $p$-进二项式系数来表示它们。