剩余数集合的界限

设 $s(n)$ 为不同余数 $n \bmod k$ 的个数, 其中 $1 \leq k \leq \lfloor n/2 \rfloor$. 这一自然数列是 OEIS 中的数列 A283190, 虽然已知一些基本事实, 但似乎 surprisingly 仅被少数研究. 首先, 我们证明 $s(n) = c \cdot n + O(n/(\log n \log \log n))$, 其中 $c$ 为显式常数. 随后我们关注相邻项 $s(n)$ 与 $s(n+1)$ 之间的差值. 结果发现增量最多为 1, 但存在任意大的减小. 我们证明差值受 $O(\log \log n)$ 的界限. 最后, 我们考虑"迭代剩余数集合". 这些与 Pierce 展开相关问题有关, 我们证明这些集合大小的界限.