第二类 Stirling 数之差的 2-adic 赋值

设 $m, n, k$ 和 $c$ 为正整数。令 $\nu_2(k)$ 为 $k$ 的 2-adic 赋值。用 $S(n,k)$ 表示第二类 Stirling 数。在本文中，我们首先建立了第二类 Stirling 数的卷积恒等式，并对第二类 Stirling 数提供了详细的 2-adic 分析。由此我们证明，若 $2\le m\le n$ 且 $c$ 为奇数，则 $\nu_2(S(c2^{n+1},2^m-1)-S(c2^n, 2^m-1))=n+1$，除非 $n=m=2$ 且 $c=1$，此时 $\nu_2(S(8,3)-S(4,3))=6$。这解决了 Lengyel 于 2009 年提出的一个猜想。