分圆多项式的系数与高阶导数：旧识与新知

第 $n$ 个分圆多项式 $\Phi_n(x)$ 是一个 $n$ 次本原单位根的最小多项式。其系数是深入研究的对象，并且已知一些关于它们的公式。此处我们关注对所有自然数 $n$ 都成立的公式。在这些公式中，一大批著名的数论对象如伯努利数、两类斯特林数以及拉马努金和纷纷登场，有时甚至同时出现！本文对这些迄今散见于文献中的公式作了综述，并引入一种统一的方法来推导其中部分公式，作为副产品也给出了更简短的证明。特别地，我们证明某些公式在贝尔多项式的意义下有更为优雅的重新诠释。该方法归结为计算 $\Phi_n$ 在某些点处的对数导数。此外，我们证明任意克罗内克多项式（首一的分圆多项式之积与一个单项式）在 $\pm 1$ 处的对数导数满足一族线性方程式，其系数为第二类斯特林数。我们应用这些方程来证明某些多项式不是克罗内克多项式。特别地，我们推得对每个 $k\ge 4$，存在一个嵌入维数为 $k$、弗罗贝尼乌斯数为 $2k+1$ 的对称数值半群不是分圆半群，从而确立了 Alexandru Ciolan、Pedro Garc\'ia-S\'anchez 与第二作者所提出的一个猜想。在附录中，Pedro Garc\'ia-S\'anchez 证明了对于每个 $k\ge 4$，存在一个弗罗贝尼乌斯数为 $2k+1$ 的对称非分圆数值半群。