分圆多项式的实临界点个数

我们研究分圆多项式 $\Phi_{n}(x)$ 的实临界点个数，即 $\Phi_{n}^{\prime}(x)$ 的实根。通常，在不失一般性的情况下，可将 $n$ 限制为不同奇素数之积，记为 $p_{1}<\cdots<p_{k}$。我们证明，若这些素数“充分分离”，则 $\Phi_{n}^{\prime}(x)$ 恰有 $2^{k}-1$ 个实根，且每一个均为单根。