关于多项式的Schinzel-Zassenhaus猜想的一个证明

我们证明：若 $P(X) \in \mathbb{Z}[X]$ 是次数为 $n$ 且 $P(0) = 1$ 的整数多项式，则要么 $P(X)$ 是分圆多项式的乘积，要么 $P$ 的至少一个复根属于圆盘 $|z| \leq 2^{ - 1 / (4n) }$。我们还得到了该结果在 $\mathbb{Q}$ 的所有阿贝尔扩张与所有全 $p$-adic 扩张的复合域 $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t.}p}$ 上的相对版本（对任意固定素数 $p$），并应用它证明了乘法群上的 $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t.}p}$-相对规范高度下界。另一推广给出了 $\mathbb{Q}[[X]]$ 中全纯幂级数的一个均匀正高度下界，该下界与奇点总数成反比，且级数不具有 $p(X) / (X^k-1)^m$ 的形式（其中 $p(X) \in \mathbb{Q}[X]$），并进一步应用于证明某些有理函数存在小临界值。