分圆多项式某类相关多项式的系数

设 $N=p_1p_2... p_n$ 为 $n$ 个不同素数的乘积。定义 $P_N(x)$ 为多项式 $(1-x^N)\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-x^{N/(p_ip_j)})/\prod_{i=1}^n (1-x^{N/p_i})$。（当 $n=2$ 时，$P_{pq}(x)$ 是第 $pq$ 个分圆多项式；当 $n=3$ 时，$P_{pqr}(x)$ 是 $(1-x)$ 乘以第 $pqr$ 个分圆多项式。）设多项式的高度为其系数绝对值的最大值。众所周知，$\Phi_{pq}(x)$ 的高度为 1，Gallot 和 Moree 证明了当 $n=3$ 时 $P_{pqr}(x)$ 的情况亦然。我们表明，$P_N(x)$ 的系数主要取决于形如 $p_j^{-1} \pmod {p_i}$ 的余数之和的相对顺序。这使得我们能够显式描述 $n=3$ 时 $P_N(x)$ 的系数，并证明当 $n=4$ 时 $P_N(x)$ 的高度至多为 2。我们还证明，对于任意 $n$，均存在高度为 1 的 $P_N(x)$，但一般而言，$P_N(x)$ 的最大高度是仅依赖于 $n$ 的函数，其增长率为 $2^{n^2/2+O(n\log n)}$。