循环矩阵与多项式的临界点

我们证明，对于任意大小为 $n\times n$、具有首一特征多项式 $p(z)$ 的循环矩阵 $C$，由其前 $n-1$ 行和列构成的 $(n-1)\times(n-1)$ 子矩阵 $C_{n-1}$ 的谱由 $p(z)$ 的所有临界点组成。利用这一事实，我们为 R. Pereira 和 S. Malamud 近期证明的 Schoenberg 猜想提供了一个简单证明。我们还证明了由 M. de Bruin 和 A. Sharma 提出、且近期由 W.S. Cheung 和 T.W. Ng. 以其原始形式（即对于根的质量中心为零的多项式）证明的高阶 Schoenberg 型猜想的完整推广。在这一特定情形下，我们的不等式比 de Bruin 和 Sharma 所猜想的更强。我们还得到了一些关于多项式临界点控制的类Schmeisser结果。