极大且不可扩张的多项式与正规算子谱的几何

我们考虑集合 S(n,0)，即次数为 $n\ge 2$、所有零点位于闭单位圆盘内且在 0 处为零的首一复多项式。对 $p\in S(n,0)$，令 $|p|_{0}$ 表示从原点到 $p'$ 的零点集的距离。我们确定了次数为 $n$ 的所有 0-极大多项式，即所有满足对任意 $q\in S(n,0)$ 有 $|p|_{0}\ge |q|_{0}$ 的多项式 $p\in S(n,0)$。利用二阶变分方法，我们接着证明尽管其中某些多项式是不可扩张的，它们未必是 Sendov 猜想的局部极大元。这使得近期声称的对 Sendov 和 Smale 猜想的证明无效，并表明这些证明中使用的方法只能得到（已知的）部分结果。在论文的第二部分，我们通过多元优超关系得到了复多项式临界点的一个刻画。我们还提出一种针对 Sendov 猜想的算子理论方法，将其用正规算子及其到迹向量正交补上的压缩的谱变分来表述。利用正规算子的高斯-卢卡斯型定理，我们将复多项式临界点定位问题关联到描述正规矩阵谱与其主子矩阵谱之间关系的更一般问题。