Crouzeix猜想对具有以特征值为中心的椭圆数值域的三对角$3\times 3$矩阵成立

M. Crouzeix 在 (Integral Equations Operator Theory 48, 2004, 461--477) 中提出了如下猜想：对每一个方阵 $A$ 和每一个多项式 $p$，有 $$\|p(A)\| \le 2 \max_{z\in W(A)}|p(z)|,$$ 其中 $W(A)$ 是 $A$ 的数值域。我们证明该猜想在其强的、完全有界的形式下成立，即上述 $p$ 允许为任意矩阵值多项式，对所有主对角线为常数且形如 $$\left[\begin{matrix}a&b_1&0\\c_1&a&b_2\\0&c_2&a\end{matrix}\right],\qquad a,b_k,c_k\in\mathbb C$$ 的三对角 $3\times 3$ 矩阵成立，或者等价地，对所有具有椭圆数值域且其中一个特征值位于椭圆中心的复 $3\times 3$ 矩阵成立。我们还略微推广了 D. Choi 在 (Linear Algebra Appl. 438, 3247--3257) 中的主要结果。