Crouzeix-Palencia 结果的一些扩展

在 [{\em The Numerical Range is a $(1 + \sqrt{2})$-Spectral Set}, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 38 (2017), pp.~649-655] 中，Crouzeix 和 Palencia 证明了方阵或线性算子 $A$ 的数值域是 $A$ 的 $(1 + \sqrt{2})$-谱集；也就是说，对于在数值域 $W(A)$ 内部解析且在其边界上连续的任意函数 $f$，不等式 $\| f(A) \| \leq (1 + \sqrt{2} ) \| f \|_{W(A)}$ 成立，其中左侧的范数为算子 2-范数，右侧的 $\| f \|_{W(A)}$ 表示 $| f(z) |$ 在 $z \in W(A)$ 上的上确界。在本文中，我们展示了如何扩展他们论文中的论证，以证明复平面上其他不一定包含 $W(A)$ 的区域也是 $K$-谱集，其中 $K$ 的值可能接近于 $1 + \sqrt{2}$。我们还发现了一些特殊情况，在这些情况下 $W(A)$ 的常数 $(1 + \sqrt{2})$ 可以被替换为 2，这正是 Crouzeix 所猜测的值。