关于 $N\times N$ 矩阵的 Crouzeix 比

$N\times N$ 复矩阵 $A$ 的 Crouzeix 比 $\psi(A)$ 是在 $A$ 的数值域上满足 $|p|\le 1$ 的所有多项式 $p$ 取值 $\|p(A)\|$ 的上确界。已知 $\psi(A)\le 1+\sqrt{2}$，并猜想 $\psi(A)\le 2$。在本文中，我们证明 $\psi(A)\le C_N$，其中 $C_N$ 是一个仅依赖于 $N$ 且满足 $C_N<1+\sqrt{2}$ 的常数。该证明基于对映射 $A\mapsto \psi(A)$ 连续性质的研究。