推广 Lee 关于矩阵绝对值之和不等式的猜想

设 $\|\!\cdot\!\|_p$ 为矩阵的谱 $p$ 范数，$\|\!\cdot\!\|_F$ 为弗罗贝尼乌斯范数。对于矩阵 $X$，记 $|X|$ 为其绝对值。在 2010 年，Eun-Young Lee 提出确定最小常数 $c_p$ 的问题，使得对所有复矩阵 $A,B$ 都有 $\|A+B\|_p \le c_p\|\,|A|+|B|\,\|_p$。Lee 的 Frobenius 范数情形（$p=2$）由 Lin 和 Zhang（2022）证明，并由 Zhang（2025）重新证明。在本文中，我们将 Lee 的猜想从两个矩阵推广到任意 $m \ge 2$ 个复矩阵 $A_1,\dots,A_m$，并确定锐不等式 $$\left\|\sum_{k=1}^{m} A_k\right\|_F \le \sqrt{\frac{1+\sqrt{m}}{2}}\; \left\|\sum_{k=1}^{m}|A_k|\right\|_F ,$$ 其中等式由等角秩一矩阵族取得。我们进一步推广 Lee 的问题，寻找最小常数 $c_p(m)$ 使得 $\|\sum_{k=1}^{m} A_k\|_p \le c_p(m)\, \|\sum_{k=1}^{m}|A_k|\|_p$。我们证明 $c_p(m)\le (\sqrt{m})^{1-1/p}$，并推测最优值 $c_p(m)$ 的闭式表达式可恢复已知情形 $p=1,2,\infty$。