与含复参数的 Bourin 和 Heinz 均值相关的不等式

S. Hayajneh 和 F. Kittaneh 提出的一个猜想声称：给定正矩阵 $A,B$，$0\le t\le 1$，以及任意酉不变范数，成立 $|||A^tB^{1-t}+B^tA^{1-t}|||\le|||A^tB^{1-t}+A^{1-t}B^t|||$。最近，R. Bhatia 证明了该不等式在 Frobenius 范数且 $t\in [1/4;3/4]$ 的情形下成立。在本文中，我们利用复分析方法将此结果推广到参数 $t=z$ 为复数值的情形，其中 $z$ 位于带状区域 $\{z \in {\mathbb C}: Re(z) \in [1/4;3/4]\}$ 内。我们给出了一个初等证明，表明对于带状区域内的某些 $z$，等式成立当且仅当 $A$ 和 $B$ 可交换。我们还通过展示一对正矩阵给出了该一般猜想的反例，表明该主张对于一致范数不成立。最后，我们针对由 $s_j(A^tB^{1-t}+B^tA^{1-t})\le s_j(A+B)$ 给出的相关奇异值不等式提供了一个反例，从而否定了 K. Audenaert 和 F. Kittaneh 提出的问题。