Heinz 不等式的反向与变体

设 $A, B$ 为正定 $n\times n$ 矩阵。我们提出若干反向 Heinz 型不等式，特别是 \begin{align*} \|AX+XB\|_2^2+ 2(\nu-1) \|AX-XB\|_2^2\leq \|A^{\nu}XB^{1-\nu}+A^{1-\nu}XB^{\nu}\|_2^2, \end{align*} 其中 $X$ 为任意 $n \times n$ 矩阵，$\|\cdot\|_2$ 为 Hilbert-Schmidt 范数且 $\nu>1$。我们还建立了一个涉及 Hadamard 积的 Heinz 型不等式，形式如下 \begin{align*} 2|||A^{1\over2}\circ B^{1\over2}|||\leq|||A^{s}\circ B^{1-t}+A^{1-s}\circ B^{t}||| \leq\max\{|||(A+B)\circ I|||,|||(A\circ B)+I|||\}, \end{align*} 其中 $s, t\in [0,1]$ 且 $|||\cdot|||$ 为酉不变范数。