基于 Kontorovich 常数的若干反向与精细 Callebaut 不等式

本文运用一些算子技巧，在温和条件下建立了涉及几何平均与阿达马积的 Callebaut 不等式的一些精细化与反向形式。特别地，我们证明了 \begin{align*} K&\left(\frac{M^{2t-1}}{m^{2t-1}},2\right)^{r'} \sum_{j=1}^n(A_j\sharp_{s}B_j)\circ \sum_{j=1}^n(A_j\sharp_{1-s}B_j) \nonumber\\&\,\,+\left(\frac{t-s}{t-1/2}\right)\left(\sum_{j=1}^n(A_j\sharp_{t}B_j)\circ \sum_{j=1}^n(A_j\sharp_{1-t}B_j) -\sum_{j=1}^n(A_j\sharp B_j)\circ \sum_{j=1}^n(A_j\sharp B_j)\right)\nonumber \\&\leq \sum_{j=1}^n(A_j\sharp_{t}B_j)\circ \sum_{j=1}^n(A_j\sharp_{1-t} B_j)\,, \end{align*} 其中 $A_j, B_j\in{\mathbb B}({\mathscr H})\,\,(1\leq j\leq n)$ 为正算子，满足 $0<m' \leq B_j\leq m <M \leq A_j\leq M'\,\,(1\leq j\leq n)$，且要么 $1\geq t\geq s>{\frac{1}{2}}$ 要么 $0\leq t\leq s<\frac{1}{2}$，$r'=\min\left\{\frac{t-s}{t-1/2},\frac{s-1/2}{t-1/2}\right\}$ 以及 $K(t,2)=\frac{(t+1)^2}{4t}\,\,(t>0)$。