Callebaut 不等式关于算子的互补与精细化不等式

Callebaut 不等式指出：\begin{align*} \sum_{ j=1}^n \left(A_j\sharp B_j\right)\leq \left(\sum_{ j=1}^n A_j \sigma B_j\right)\sharp\left(\sum_{ j=1}^n A_j \sigma^{\bot} B_j\right)\leq\left(\sum_{ j=1}^n A_j\right)\sharp \left(\sum_{ j=1}^nB_j\right)\,, \end{align*} 其中 $A_j, B_j\,\,(1\leq j\leq n)$ 为正可逆算子，$\sigma$ 和 $\sigma^\perp$ 分别为 Kubo 和 Ando 意义下的算子均值及其对偶。本文利用 Mond--Pe\v{c}ari\'{c} 方法以及一些算子技巧，在温和条件下建立了上述不等式的一个互补不等式。我们还给出了涉及 Hilbert 空间算子的加权几何均值和 Hadamard 积的 Callebaut 型不等式的一些精细化结果。