Milman 反向 Brunn-Minkowski 不等式的一个推广

经典的 Brunn-Minkowski 不等式表明对于 $A_1,A_2\subset\R^n$ 紧集，$$|A_1+A_2|^{1/n}\ge |A_1|^{1/n}+|A_2|^{1/n}\eqno(1)$$ 其中 $|\cdot|$ 表示 $\R^n$ 上的 Lebesgue 测度。1986 年 V. Milman {\bf [Mil 1]} 发现如果 $B_1$ 和 $B_2$ 是球，则总存在 $B_1$ 和 $B_2$ 的一个相对位置使得 (1) 的一个扰动逆形式成立。更确切地说："{\sl 存在常数 $C>0$ 使得对所有 $n\in\N$ 以及任意球 $B_1,B_2\subset\R^n$，我们可以找到线性变换 $u\colon\R^n\to\R^n$ 满足 $|{\rm det}(u)|=1$ 且 $$|u(B_1)+B_2|^{1/n}\le C(|B_1|^{1/n}+|B_2|^{1/n})$$"} 本文的目的是将此 Milman 结果推广到更大类的集合。