关于$p < 1$的局部$L^p$-Brunn-Minkowski不等式

$p\geq 1$的$L^p$-Brunn-Minkowski理论由Firey提出、Lutwak于90年代发展，其将凸集的Minkowski加法替换为$L^p$对应形式，其中支撑函数在$L^p$-范数下相加。近来，Böröczky、Lutwak、Yang和Zhang提出将该理论进一步推广至$p \in [0,1)$的范围。特别地，他们猜想在该范围内对原点对称凸体成立一个$L^p$-Brunn-Minkowski不等式，它构成了经典Brunn-Minkowski不等式的加强。我们的主要结果在$\mathbb{R}^n$中所有（光滑）原点对称凸体及$p \in [1 - \frac{c}{n^{3/2}},1)$时局部地证实了该猜想。此外，当维数$n$充分大时，我们对$\ell_q^n$（$q \geq 2$）单位球的足够小的$C^2$-扰动以及立方体（我们证明其是猜想的极值情形）证实了局部log-Brunn-Minkowski猜想（即$p=0$的情形）。对于$q \in [1,2)$的$\ell_q^n$单位球，我们对$p=c \in (0,1)$（一个普适常数）证实了类似结果。这些猜想的局部版本等价于一个与某微分算子相关的谱隙参数极小化问题，该算子由Hilbert在其Brunn-Minkowski不等式证明中引入（采用不同归一化）。作为应用，我们得到了偶$L^p$-Minkowski问题中的局部唯一性结果，以及Brunn-Minkowski和各向异性等周不等式中改进的稳定性估计。