Orlicz-Brunn-Minkowski 理论：一般框架、加法与不等式

由 Lutwak、Yang 和 Zhang 引入的 Orlicz-Brunn-Minkowski 理论是经典 Brunn-Minkowski 理论的新推广。它代表了 $L_p$-Brunn-Minkowski 理论的推广，类似于 Orlicz 空间推广 $L_p$ 空间的方式。对于适当的凸函数 $\varphi:[0,\infty)^m\to [0,\infty)$，引入了一种组合 $\R^n$ 中任意集合的新方法。这种被称为 Orlicz 加法并记作 $+_{\varphi}$ 的运算具有几个理想的性质，但除非它退化为 $L_p$ 加法，否则它不满足结合律。我们引入了 Orlicz-Brunn-Minkowski 理论的一般框架，该框架既包含了新的加法，也包含了先前引入的概念，并首次明确了其与 Orlicz 空间和范数的关系。此外，还证明了 Orlicz 加法与被称为 $M$-加法的 Minkowski 加法的一种自然且基本的推广密切相关。所得结果表明，粗略地说，基于一种保留了 $L_p$-Brunn-Minkowski 理论所享有的所有基本几何性质的加法，Orlicz-Brunn-Minkowski 理论是可能的最一般的理论。我们针对 $M$-加法和 Orlicz 加法都得到了 Brunn-Minkowski 型不等式。新的 Orlicz-Brunn-Minkowski 不等式蕴含了 $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式。我们得到了推广 $L_p$-Minkowski 不等式的新 Orlicz-Minkowski 不等式。其中一个不等式与 Lutwak、Yang 和 Zhang 猜想的 log-Brunn-Minkowski 不等式有关，事实上，这两个不等式合起来被证明可以分裂经典的 Brunn-Minkowski 不等式。