关于一般测度的 $L_p$-Brunn-Minkowski 型与 $L_p$-等周型不等式

2011 年，Lutwak、Yang 和 Zhang 将 Firey 在 20 世纪 60 年代引入的 $L_p$-Minkowski 凸组合（$p \geq 1$）的定义从内部包含原点的凸体推广到了 $\mathbb{R}^n$ 中的所有可测子集，并由此将 $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式（$L_p$-BMI）推广到了所有可测集的情形。在本文中，我们提出了他们的 $L_p$-Minkowski 凸组合的泛函推广——$L_{p,s}$-上确积卷积，并证明了 $L_p$-Borell-Brascamp-Lieb 型（$L_p$-BBL）不等式。基于函数的 $L_p$-BBL 型不等式，我们将可测集的 $L_p$-BMI 推广到了 $\mathbb{R}^n$ 上具有 $\left(\frac{1}{s}\right)$-凹密度（$s \geq 0$）的 Borel 测度类；即，我们证明了对于任意一对 Borel 集 $A,B \subset \mathbb{R}^n$，任意 $t \in [0,1]$ 和 $p\geq 1$，有 $$\mu((1-t) \cdot_p A +_p t \cdot_p B)^{\frac{p}{n+s}} \geq (1-t) \mu(A)^{\frac{p}{n+s}} + t \mu(B)^{\frac{p}{n+s}},$$ 其中 $\mu$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上具有 $\left(\frac{1}{s}\right)$-凹密度（$0 \leq s < \infty$）的测度。此外，利用新定义的函数 $L_{p,s}$-上确积卷积，我们证明了具有拟凹密度的乘积测度以及对数凹密度的 $L_p$-BMI，具有拟凹密度的乘积测度的 $L_p$-Prékopa-Leindler 型不等式（$L_p$-PLI），以及一般测度的 $L_p$-Minkowski 第一不等式（$L_p$-MFI）和 $L_p$ 等周不等式（$L_p$-ISMI）等。最后，针对 $p$-推广提出了 Gardner-Zvavitch 猜想的泛函对应版本。