关于多重 $L_p$-曲线-Brunn-Minkowski 不等式

当 $p>0$ 时，我们将有界 Borel 可测集的曲线求和扩展至多重幂参数 $\bar{\alpha}=(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n+1})$ 的 $L_p$ 空间。基于该集合的 $L_{p,\bar{\alpha}}$-曲线求和及集合的{\it 压缩}概念，建立了有界 Borel 可测集的 $L_{p,\bar{\alpha}}$-曲线-Brunn-Minkowski 不等式及其归一化版本。进而，借助函数的下图，我们通过集合的 $L_{p,\bar{\alpha}}$-曲线-Brunn-Minkowski 不等式，对函数的 $L_{p,\bar{\alpha}}$ Borell-Brascamp-Lieb 不等式及其归一化版本（含 $L_{p}$ Borell-Brascamp-Lieb 不等式特例）给出了全新证明。此外，我们提出了两函数的多重幂 $L_{p,\bar{\alpha}}$-上卷积及其性质。最后，我们根据集合的 $L_{p,\bar{\alpha}}$-曲线求和及函数的 $L_{p,\bar{\alpha}}$-上卷积的测度变分公式给出表面积定义，并给出相应的 Minkowski 型不等式与等周不等式（对 $p\geq1$ 等）。