关于无条件情形下凸测度的 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式的注记

我们考虑 $\mathbb{R}^n$ 中紧集的一种不同于 Firey 所引入的 $L^p$-Minkowski 组合，并在无条件假设下，针对一类称为凸测度（包含对数凹测度）的一般测度类，证明了 $p \in [0,1]$ 时的 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式。作为推论，我们导出了函数 $t \mapsto \mu(t^{\frac{1}{p}} A)$ 的凹性性质，其中 $p \in (0,1]$，$\mu$ 为无条件凸测度，$A$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的无条件凸体。我们还证明了关于所有均匀测度的 (B)-猜想等价于关于所有对数凹测度的 (B)-猜想，从而完善了 Saroglou 近期的工作。