关于 $C$-余凸集的 $L_p$ Brunn-Minkowski 理论与 $L_p$ Minkowski 问题

设 $C$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中以原点 $o$ 为顶点且具有非空内部的尖闭凸锥。若 $A\subset C$ 的体积有限且 $A^{\bullet}=C\setminus A$ 为闭凸集，则称 $A$ 为 $C$-余凸集。对于 $0<p<1$，引入 $C$-余凸集的 $p$-余和，并建立相应的 $C$-余凸集的 $L_p$ Brunn-Minkowski 不等式。我们还定义了某些 $C$-余凸集的 $L_p$ 表面积测度（对于 $0\neq p\in \mathbb{R}$），这些测度在推导由 $p$-余和得到的一族函数相关联的 Wulff 形状体积的变分公式中至关重要。这催生了旨在刻画 $C$-余凸集的 $L_p$ 表面积测度的 $L_p$ Minkowski 问题。我们建立了对所有 $0\neq p\in \mathbb{R}$ 的 $L_p$ Minkowski 问题解的存在性。证明了 $0<p<1$ 时的 $L_p$ Minkowski 不等式，并用于获得 $0<p<1$ 时 $L_p$ Minkowski 问题解的唯一性。对于 $p=0$，我们引入 $(1-\tau)\diamond A_1\oplus_0\tau\diamond A_2$，即两个 $C$-余凸集 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 关于 $\tau \in(0, 1)$ 的对数余和，并证明 $C$-余凸集的对数 Brunn-Minkowski 不等式。还得到了对数 Minkowski 不等式，并应用于证明刻画 $C$-余凸集的锥体积测度的对数 Minkowski 问题解的唯一性。我们的结果解决了 Schneider 在 [Schneider, Adv. Math., 332 (2018), pp. 199-219] 中提出的一个公开问题。