关于对数凹测度下的 $L_p$-Brunn-Minkowski 与维数 Brunn-Minkowski 猜想

我们在一个统一框架下研究了近期关于对称性在 Brunn-Minkowski 型不等式中作用的若干猜想，例如 Böröczky、Lutwak、Yang 和 Zhang 的 $L_p$-Brunn-Minkowski 猜想，以及 Gardner 和 Zvavitch 的维数 Brunn-Minkowski 猜想。我们获得了关于这些猜想的若干新结果。我们证明当 $K\subset L$ 时，$L_p$-Brunn-Minkowski 猜想的乘法形式对 Lebesgue 测度在 $p\geq 1-Cn^{-0.75}$ 时成立，这改进了 Kolesnikov 和 Milman 在一个集合包含于另一个集合这一部分情形下的估计。我们还证明标准高斯测度下 $L_p$-Brunn-Minkowski 猜想的乘法版本在集合包含足够大球（其半径依赖于 $p$）时成立。特别地，当 $K$ 和 $L$ 包含 $\sqrt{0.5 (n+1)}B_2^n$ 时，高斯 Log-Brunn-Minkowski 猜想成立。我们针对对数凹测度提出了一个先验更强的猜想，它同时推广了 $L_p$-Brunn-Minkowski 猜想和维数猜想，并在集合为伸缩变换且测度为高斯的情形下予以验证。我们还证明 Log-Brunn-Minkowski 猜想若被验证，将导出这一更一般的不等式族。我们的结果建立在 Kolesnikov 和 Milman 以及 Colesanti、Livshyts、Marsiglietti 所发展方法的基础上。我们进一步验证，在一般测度设定下这些猜想的局部版本蕴含全局版本，此步骤使用了 Putterman 近期发展的方法。