加权 Brunn-Minkowski 理论 I：论加权表面积测度

凸几何中的 Brunn-Minkowski 理论除其他外关注凸体的容积、混合容积与表面积测度。我们研究这些概念在 $\mathbb{R}^n$ 中具有密度的 Borel 测度上的推广——特别是处理至多三个不同凸体时的混合容积（所谓混合测度）的加权版本。随后我们提出并分析经典表面积测度的加权版本，并获得三体混合测度的一个新积分公式。作为一个应用，我们证明了旋转不变对数凹测度的 B\'ezout 型不等式，推广了 Artstein-Avidan、Florentin 与 Ostrover 的结果。即使对于标准高斯测度这一特例，结果也是新颖且有趣的。